Эта часть скрипта проста: необходимо просто проверить наличие директории со вчерашней датой создания в папке бекапов.
if [ -d $backups_dir/daily.0 ]; then
((backup_age=(`date +%s` - `date -r /var/backups/daily.0 +%s`)/60/60))
if [ $backup_age -gt $backup_hours ]; then
echo "Возраст бекапа: $backup_age часов!\n">>$mailfile
fi
else
echo "Отсутствуют бекапы! Бекапы неправитльно настроены или не отработали\n">>$mailfile
fi